Kozmolojide İzotropi

Bu başlık altında bir bütün olarak evrenin dinamiğini konu alan kozmoloji ile ilgili bir ön giriş yapacağız.Kozmolojinin matematiksel niteliği  iki nedenden dolayı basittir.Birincisi büyük ölçeklerle uğraştığımızdan sadece kütleçekim kuvvetini hesaba katmak durumundayız.Diğer etkiler yani;elektromanyetik,,kuantum ve nükleer etkiler göz ardı  edilmektedir.Diğer bir neden ise,yeterince büyük ölçeklerde evren iyi bir yaklaşıklıkla homojen ve izotropiktir.Bu Kopernik ilkesi,doğrudan bir manifoldun sahip olması gereken iki özelliğidir.Homojen ve izotropik.İzotropiyi şöyle tanımlayabiliriz,bir yüzeyde herhangi bir noktadan bakıldığında her taraf yönden bağımsız olarak aynı görünümdedir.Homojen olma özelliği ise geometrik yapının heryerde aynı olması durumudur.Yani uzayın metriği heryerde aynıdır.Bir uzay heryerde izotropik ise homojendir denir.Küresel bir yüzeyi düşünürsek bunu daha iyi canlandırabiliriz.Evrenin bir merkezi olmadığından heryerdeki gözlemci için evren aynı görünecektir.Şimdi bu basit önvarsayımlardan hareketle Einstein Alan Denklemlerini,izotropik ve homojen bir metrik(geometri)için çözülür.
İzometrik ve homojen bir metrik azami simetriye sahiptir.Burda uzay-zaman'dan değil sadece uzay kısmının homojen ve izotropik durumundan bahsedeceğiz,çünkü uzayımızın zamanla evrimleşmesini istiyoruz.Bunun için uzay kısmı küresel simetrik bir metrik olacak şekilde ayrıca belirli bir zamanın fonksiyonu ile çarpılarak sabit bir eğriliğide içinde barındırmasını istiyoruz,bunun nedeni izotropik ve homojen bir uzayda Eğrilik tensörü olan Riemann tensörü metrikle orantılı olmasıdır..

Termodinamiğin Birinci Yasası

Isı ve İç Enerji:
İç enerji, cisme göre durgun bir referans sisteminden bakıldığında, mikroskobik bileşenlerinin -atom ve moleküller- hareketleriyle ilgili enerjilerinin toplamıdır. Bu tanımda, bir sistemin uzaydaki hareketinden kaynaklanan hacimsel kinetik enerjinin iç enerjiye etki etmediğini gösterir. İç enerji maddenin moleküllerinin ötele, dönme ve titreşim hareketleri ile moleküllerdeki potansiyel enerjisi ile moleküller arasındaki potansiyel enerjinin toplamıdır.
Isı, sistemle çevresi arasındaki sıcaklık farkından kaynaklanan ve sistemin sınırlarını geçen enerji transferi olarak tanımlanır. Bir cismi ısıtırsanız, bu cisimle temasta olan daha yüksek sıcaklıktaki çevresinden ona enerji aktarmış olursunuz.
Isı ve iç enerji kavramları arasındaki farkı görmek için, iş ve mekanik enerji arasındaki kavramları düşünelim. Bir sistem üzerine yapılan iş, sisteme çevresinden verilen enerji miktarının bir ölçüsüdür. Halbuki bir sistemin mekanik enerjisi hareketinin ve sistemin elemanlarının bağıl konumlarının bir sonucudur. Dolayısıyla, bir kişi bir sistem üzerinde iş yaparsa, kişiden sisteme enerji aktarımı yapılmıştır. Yani bir sisteme ve sistemden dışarı enerji transferi söz konusu olduğundan sadece sistem üzerine bir iş yapılabilir veya sistem bir iş yapabilir. Benzer şekilde, bir sistemin ısısı kavramının anlamı yoktur, ancak sıcaklık farkların nedeniyle bir enerji transferi söz konusu olduğunda, ısıdan söz edilir. Isı ve iş sistemin enerjisinin değiştirmenin iki yoludur.
Termodinamiğin Birinci Kanunu, enerji korunumu kanunun bir genellemesidir ve iç enerjideki muhtemel değişimleri de kapsar. Ayrıca, mikroskobik ve makroskobik nicelikler arasında ilişki kurar.
Sistem üzerine iş yaparak enerji değişiminde, sistemlerin makroskobik değişkenlerinde, yani basınç veya kuvvetin uygulama noktasında kayda değer bir değişme olur.
Isı yoluyla iç enerjinin değişimi, mikroskobik düzeydeki sistemin molekülleri arasındaki rastgele çarpışmalardan ileri gelen ısı transferidir.
Termodinamik bir sistemin bir ilk halden son hale Q birimlik ısı alış verişi yaparak ve sistem tarafından veya sistem üzerine W işi yapılarak geçtiğini farz edelim. Örneğin sistem, basınç ve hacmi Pi, Vi den Ps, Vs ye değişen bir gaz olsun. Eğer Q ve W nicelikleri, ilk ve son denge durumlarını birleştiren çeşitli yollar boyunca ölçülmüş ise görülür ki ilk ve son durumu birleştiren bütün yollar boyunca bulunan Q - W değeri aynıdır. Buradan, bir sistemin ilk ve son durum vasıtasıyla Q - W niceliğinin tamamen belirlenebilir olduğu sonucuna varırız.
Q - W niceliği bir sistemin iç enerjisindeki değişmedir. Q ve W nin her ikisi de yola bağlı olmasına rağmen, Q -W niceliği yoladan bağımsızdır. İç enerji fonksiyonu E(iç) şeklinde gösterirsek
              dE(iç) = dQ - dW (Termodinamiğin birinci yasası) şeklinde yazılır.

String Theory

String Theory is one of the most exciting theory among other physics theories.Main idea is really basic.Particles are not a distinct form or point particles,and they are not excitations of quantum fields.They are strings and fluctiating from here to there. String theory is candidate of a grand unified theory.Because it allows a definition of combining general relativity and quantum field theory.Why it is important?why physicists are searching a unified theory?I think we can answer these questions in many ways. Firstly,in state of extremely massive and relativistic regime,There is not a theory that describe physical phenomena.We can list these regime blackhole and early age of our universe.There are quantum fluctiotions,singularities,mini blackholes,matter and anti matter pairs,etc.String theory a mathematical frame work which describe iteractions,particles and spacetime.Gravity is natural consequence of string theory. To study string theory,one must follow A first course in string theory book by Barton Zwiebach. It is an introduction text book for undergraduate students.If you haven't any background in quantum field theory and general relativity,it is a good course boook for introducing string theory. General relativity describes gravity with a interesting and challenging way.Gravity is curvature of spacetime continuum.And objects follows curve paths.This is an anology between Newtonian motion.Because in classical mechanics,we define free particles,and these particles not in effect under a force.So they follow a straight paths.However,in general teory of relativity,free particles follow a curve or mathematically,geodesics.Geodesics are shortest way that particles follow. We can see that gravity is a geometrical appearence. Quantum field theory,an attempt quantization of fields,describe particles with fields excitations.So it is not directly geometrical theory.

Cartan's Structure Equations

         We have already use Tensor algebra for constructing General Relativity,that is,Einstein Field Equations.Tensor algebra is useful when we define a physical law in coordinate independend form.However,it is difficult to compute some metric with tensor algebra.So Cartan's Structure Equations allows us very useful and short computations.I will introduce some basic properities of CSE(Cartan's Structure Equatons) here.First of all this text an attempt at writing in english language.Thanks for your tolerance,and please advice me for any mistakes.
Now we will dive into most elegant form of mathematical structure of our universe.
Major motivation of construction of structure equation is transformation of coordinate basis to non coordinate basis.We know from elementary physics only cartesian coordinate is orthogonal.Therefore we want build a framework that have orthogonal basis and independent from chosen coordinate frame.
        To describe a mathematical framework that belong to physical phenomena one has to take a coordinate system and approach a description of experimental fact that valid every time and independend from where experments performed.From this consequences we want orthogonal basis and to be converted between different coordinates.Special relativity and General relativity are coordinate independent theories.And they are valid any referance frame.
        Next chapter we will introduce basics of CSE.

Ölçüm teorisi

Çalışmamıza bazı temel kavramları ve Riemann integrali hatırlatarak başladık. Bu kısımda farklı olarak Riemann integralinin eksikliklerinden bahsettik. 4. ve 5. bölümlerde Lebesgue integral fikrinin temelini oluşturan kümelerin ve fonksiyonların ölçümlerini açıkladık. Ve nihayet 6. bölümde Lebesgue integralini tanımladıktan sonra Riemann integraliyle karşılaştırılması yapıldı ve bu kısımda ayrıca Lebesgue integralinin de eksikliğinden bahsedildi ve son olarak Lebesgue integrali uygulamasına yer verildi.

Lebesgue integrali anlaşılması hemen kolay bir kuram değildir. Bunun için önce Lebesgue ölçümü kuramını geliştirmek gerekir. Bu nedenle, Lebesgue önce Lebesgue ölçümünü geliştirdi. Burada, kümelerin ölçülebilmeleri ve fonksiyonların ölçülebilmeleri kavramlarını getirdi. Bundan sonra, kendi adıyla anılan ünlü Lebesgue integrali oluşturdu. Çalışmamıza bu doğrultuda ölçüm fikrini oluşturmakla başlayacağız ve bazı temel kavramlardan bahsedeceğiz...

Tezi aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.

http://hotfile.com/dl/133272010/a736346/LM_TEORS.docx.html

(Tezi oluşturan Ali Onur Çiçek isimli arkadaşımıza teşekkür ve saygılarımızı sunarız ayrıca tezin tüm haklarını kendisine aittir.)

Matematik için önerebileceğim kaynaklar

Aşağıda önereceğim kaynakların size yardımcı olacağını düşünüyorum.

Reel analizi çok temel düzeyde ele alarak anlatan;

Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert. Introduction to Real Analiys

Fonksiyonel Analiz için;

Erdoğan S. Şuhubi, Fonksiyonel Analiz kitabını tavsiye ederim.

Topoloji öğrenmek için James Munkres'ın Topology kitabı sanırım en ideal olanıdır fakat Prof. Şaziye Yüksel hocanın ele aldığı Genel Topoloji kitabı da yeni başlayanlar ve Türkçe kaynak arayanlar için en iyi alternatiftir.

Ayrıca Mehmet Sait Eroğlu, Cantor Kümeler Kuramı kitabı mutlaka okunması gerekir.

Cebir için Türkçe kaynak olarak TÜBA'nın basımını üstlendiği Halil İbrahim Karakaş'ın Cebir Dersleri kitabı ve daha ilerisini düşünenler için David Dummid, Abstract Algebra ve Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra kitapları her türlü sorularınızı ve daha fazlasını yanıtlayacaktır.

Yabancı kaynakları ve daha fazlasını e-book olarak library.nu sitesinden ücretsiz indirebilirsiniz...

Sizlerin de önermek istediğiniz kitaplar veya yorumlarınız olursa memnuniyetle bekleriz...

Ayrıca http://www.acikders.org.tr/course/category.php?id=2 linkini kullanarak TÜBA Ulusal Açık Ders Malzemeleri portalından matematik derslerin notlarına ve dökümanlarına ulaşabilirsiniz. Ders notlarını hazırlayan hocalara teşekkürlerimizi sunarız...

Halkalarda türev

Halkalar türetme konusunu ele almaya çalışıldı.

Cebirde türevin nasıl geliştiğine dair kısa girişi ve tezi bilgisayarınıza yüklemeniz için link aşağıda bulacaksınız.

1. GİRİŞ

Türetme ve halkaların yapısı arasındaki ilişki 50 yılı aşkın süredir birçok matematikçi tarafından çalışılmıştır. Edward Posner tarafından 1957 yılında yayınlanan asal halkalarda türetme üzerine makaleyle başlangıçta bulunulmuş ve günümüze kadar pek çok makale yayınlanmıştır. (Herstein I.N.; Bresar M.; Bell H.E.; Lanski C.; Lee T.K.; Nowicki A.;..)

Bu teorinin gelişimi sırasında türetme üzerine birçok soru düşünüldü;

Ÿ Türetmelerin çarpımı ve halkaların değişmeliliği üzerine Posner E. (1957); Ahmad M. (1977); Awtar R. (1973); Creedon T. (1998); Hangan M. (1991); Jensen D.W. (1995); Lanski C. (1987); Wang X.K (1994)… makaleleri yayınlanmıştır.

Ÿ Cebirsel türetmeler üzerine Amitsur S.A. (1957), Ayad M. Ve Ryckelynck P. (2002); Bell H.E. (2001); Bergen J. (1981); Bresar M. (1995); Lanski C. (1985)… makaleleri yayınlanmıştır.

Ÿ İntegral türetmeleri üzerine Amitsur S.A. (1957); Farkas D.R. (2000); Ferrero M. (1991); Nowicki A. (1987); Seidenberg A. (1966)… makaleleri yayınlanmıştır.

Ÿ Türetmelerin türleri üzerine Argaç N. (2001); Ashraf M. (2005); Beider K.I. (1999); Carini L. (1985); Chung L.O. (1985); Ferrero M. (2002); Jing W. (2003); Nakajima A. (2001)… makaleleri yayınlanmıştır.

Halkalarda türetme tanımı yapıldıktan sonra Jordan türetmesi, Lie türetmesi, ()- türetmesi, Jordan ()- türetmesi tanımları verilmiştir.

1991 yılında Bresar, genelleştirilmiş türetmeyi tanımlamış ve iki türetmenin bileşkesi ile ilgili bazı özellikleri genelleştirilmiş türetmelere taşımıştır. Bu çalışmayı Hvala (1998), Lee (1999) ve Lee ve Shiue (2001) gibi matematikçilerin çalışmaları takip etmiştir.

Edward Posner 1957 yılında bir asal halka ve d, R halkasının sıfırdan farklı bir türetmesi olmak üzere x elemanıdır R için [d(x),x] elemanıdır Z ise R halkasının değişmeli olduğunu ispatlamıştır. Daha sonra Lee R.H. ve arkadaşları 1981 yılında yayınladıkları makalesiyle aynı teoremi farklı ispatını vermiştir.

Herstein I.N. 1970 yılında R karakteristiği 2 den farklı bir asal halka ve [d(R),d(R)] alt kümesidir Z koşulunu sağlıyorsa R halkasının değişmeli olduğunu ispatlamıştır. Ayrıca Herstein I.N. makalesinde d(R) alt kümesidir Z koşulunu sağlıyorsa R halkasının değişmeli olduğunu ispat etmiştir (Herstein I.N. 1970).

Tezi Word olarak aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.

http://hotfile.com/dl/132136460/2d671a7/halkalarda_trev.doc.html

Yorumlarınız için teşekkür ederim...

Kara Deliklerin Özellikleri

KARA DELİKLER-10 Einstein-Rosen Köprüsü(Solucan Delikleri-Wormhole)

Topoloji üzerine

Bilindiği gibi bir matematiksel sistem verilen boştan farklı bir küme ve üzerinde tanımlanan bir yapıdan oluşur. Küme üzerine kurulan bu yapıya göre adlandırma yapılır. Örneğin, küme üzerinde ikili bir işlem tanımlarsanız bu yapıya cebirsel yapı denir. Bu bölümde "topoloji nedir?" sorusunu cevaplamaya çalışalım.

Mutlak değer metriği ile (R,| |) uzayında bir dizinin yakınsaklığını ve bir fonksiyonun sürekliliğini biliyoruz. Şimdi boş olmayan herhangi X ve Y kümelerini ele alalım.

i) X kümesi üzerinde nasıl bir yapı koyalım ki bu küme içinde verilen bir dizi yakınsak olsun.

ii) f, X kümesinden Y kümesine bir fonksiyon olmak üzere X ve Y kümeleri üzerine nasıl bir matematik yapılar koyalım ki f fonksiyonu sürekli olsun.

İşte, küme üzerine konulan bu matematiksel yapı topolojik yapı olarak adlandırılır.

Topoloji; uzaysal yapı kavramları için verilen özel tanımlarla ilgilenen, değişik tanımları karşılaştıran ve küme üzerinde tanımlanan yapı ile ilgili özellikler arasındaki bağlantıları araştıran bilim dalıdır. Klein, 1872 yılında topolojiyi "Uzaya ait bütün özellikler ile homeomorfizm altında değişmeyen özellikleri araştıran matematiğin bir bilim dalıdır." şeklinde tanımlamıştır. Cantor, 1879-1884 yılları arasında Öklid uzayı ve bu uzayın alt kümelerinde, topolojiye ait bazı temel kavramlar vermiştir. Daha sonra C. Jordan, H Poincarre, E. Borel, R. Baire ve H. Lebesgue gibi ünlü matematikçiler Öklid uzayında topolojide yeni kavramlar elde etmiştir. Sonra V. Voltera ve D. Hilbert fonksiyonların kümesinde, E. Borel üç boyutlu uzayda düzlem ve doğruların kümesinde, topolojik kavramları vermişlerdir. Frechet 1906 yılında yakınsak dizilerle, Riesz de 1908 yılında yığılma noktaları ile topolojik uzayları tanımlamıştır. Hausdorff, 1914 yılında topolojik uzayı, soyut kümelerde komşuluklar sistemiyle vermiştir. Kuratowski, 1922 yılında kapanış aksiyomları yardımıyla topolojik yapı tanımlamıştır.

Görüleceği gibi topolojide ilk yapılacak şey genel uzay tanımını vermek, daha sonra da değişik yöntemlerle verilen topolojik yapılar arasındaki bağlantıları araştırmaktır...

(Sayın Şaziye Yüksel hocanın Genel Topoloji adlı kitabından alıntıdır.)

Devam edecek...