Cartan's Structure Equations

         We have already use Tensor algebra for constructing General Relativity,that is,Einstein Field Equations.Tensor algebra is useful when we define a physical law in coordinate independend form.However,it is difficult to compute some metric with tensor algebra.So Cartan's Structure Equations allows us very useful and short computations.I will introduce some basic properities of CSE(Cartan's Structure Equatons) here.First of all this text an attempt at writing in english language.Thanks for your tolerance,and please advice me for any mistakes.
Now we will dive into most elegant form of mathematical structure of our universe.
Major motivation of construction of structure equation is transformation of coordinate basis to non coordinate basis.We know from elementary physics only cartesian coordinate is orthogonal.Therefore we want build a framework that have orthogonal basis and independent from chosen coordinate frame.
        To describe a mathematical framework that belong to physical phenomena one has to take a coordinate system and approach a description of experimental fact that valid every time and independend from where experments performed.From this consequences we want orthogonal basis and to be converted between different coordinates.Special relativity and General relativity are coordinate independent theories.And they are valid any referance frame.
        Next chapter we will introduce basics of CSE.

Ölçüm teorisi

Çalışmamıza bazı temel kavramları ve Riemann integrali hatırlatarak başladık. Bu kısımda farklı olarak Riemann integralinin eksikliklerinden bahsettik. 4. ve 5. bölümlerde Lebesgue integral fikrinin temelini oluşturan kümelerin ve fonksiyonların ölçümlerini açıkladık. Ve nihayet 6. bölümde Lebesgue integralini tanımladıktan sonra Riemann integraliyle karşılaştırılması yapıldı ve bu kısımda ayrıca Lebesgue integralinin de eksikliğinden bahsedildi ve son olarak Lebesgue integrali uygulamasına yer verildi.

Lebesgue integrali anlaşılması hemen kolay bir kuram değildir. Bunun için önce Lebesgue ölçümü kuramını geliştirmek gerekir. Bu nedenle, Lebesgue önce Lebesgue ölçümünü geliştirdi. Burada, kümelerin ölçülebilmeleri ve fonksiyonların ölçülebilmeleri kavramlarını getirdi. Bundan sonra, kendi adıyla anılan ünlü Lebesgue integrali oluşturdu. Çalışmamıza bu doğrultuda ölçüm fikrini oluşturmakla başlayacağız ve bazı temel kavramlardan bahsedeceğiz...

Tezi aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.

http://hotfile.com/dl/133272010/a736346/LM_TEORS.docx.html

(Tezi oluşturan Ali Onur Çiçek isimli arkadaşımıza teşekkür ve saygılarımızı sunarız ayrıca tezin tüm haklarını kendisine aittir.)

Matematik için önerebileceğim kaynaklar

Aşağıda önereceğim kaynakların size yardımcı olacağını düşünüyorum.

Reel analizi çok temel düzeyde ele alarak anlatan;

Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert. Introduction to Real Analiys

Fonksiyonel Analiz için;

Erdoğan S. Şuhubi, Fonksiyonel Analiz kitabını tavsiye ederim.

Topoloji öğrenmek için James Munkres'ın Topology kitabı sanırım en ideal olanıdır fakat Prof. Şaziye Yüksel hocanın ele aldığı Genel Topoloji kitabı da yeni başlayanlar ve Türkçe kaynak arayanlar için en iyi alternatiftir.

Ayrıca Mehmet Sait Eroğlu, Cantor Kümeler Kuramı kitabı mutlaka okunması gerekir.

Cebir için Türkçe kaynak olarak TÜBA'nın basımını üstlendiği Halil İbrahim Karakaş'ın Cebir Dersleri kitabı ve daha ilerisini düşünenler için David Dummid, Abstract Algebra ve Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra kitapları her türlü sorularınızı ve daha fazlasını yanıtlayacaktır.

Yabancı kaynakları ve daha fazlasını e-book olarak library.nu sitesinden ücretsiz indirebilirsiniz...

Sizlerin de önermek istediğiniz kitaplar veya yorumlarınız olursa memnuniyetle bekleriz...

Ayrıca http://www.acikders.org.tr/course/category.php?id=2 linkini kullanarak TÜBA Ulusal Açık Ders Malzemeleri portalından matematik derslerin notlarına ve dökümanlarına ulaşabilirsiniz. Ders notlarını hazırlayan hocalara teşekkürlerimizi sunarız...

Halkalarda türev

Halkalar türetme konusunu ele almaya çalışıldı.

Cebirde türevin nasıl geliştiğine dair kısa girişi ve tezi bilgisayarınıza yüklemeniz için link aşağıda bulacaksınız.

1. GİRİŞ

Türetme ve halkaların yapısı arasındaki ilişki 50 yılı aşkın süredir birçok matematikçi tarafından çalışılmıştır. Edward Posner tarafından 1957 yılında yayınlanan asal halkalarda türetme üzerine makaleyle başlangıçta bulunulmuş ve günümüze kadar pek çok makale yayınlanmıştır. (Herstein I.N.; Bresar M.; Bell H.E.; Lanski C.; Lee T.K.; Nowicki A.;..)

Bu teorinin gelişimi sırasında türetme üzerine birçok soru düşünüldü;

Ÿ Türetmelerin çarpımı ve halkaların değişmeliliği üzerine Posner E. (1957); Ahmad M. (1977); Awtar R. (1973); Creedon T. (1998); Hangan M. (1991); Jensen D.W. (1995); Lanski C. (1987); Wang X.K (1994)… makaleleri yayınlanmıştır.

Ÿ Cebirsel türetmeler üzerine Amitsur S.A. (1957), Ayad M. Ve Ryckelynck P. (2002); Bell H.E. (2001); Bergen J. (1981); Bresar M. (1995); Lanski C. (1985)… makaleleri yayınlanmıştır.

Ÿ İntegral türetmeleri üzerine Amitsur S.A. (1957); Farkas D.R. (2000); Ferrero M. (1991); Nowicki A. (1987); Seidenberg A. (1966)… makaleleri yayınlanmıştır.

Ÿ Türetmelerin türleri üzerine Argaç N. (2001); Ashraf M. (2005); Beider K.I. (1999); Carini L. (1985); Chung L.O. (1985); Ferrero M. (2002); Jing W. (2003); Nakajima A. (2001)… makaleleri yayınlanmıştır.

Halkalarda türetme tanımı yapıldıktan sonra Jordan türetmesi, Lie türetmesi, ()- türetmesi, Jordan ()- türetmesi tanımları verilmiştir.

1991 yılında Bresar, genelleştirilmiş türetmeyi tanımlamış ve iki türetmenin bileşkesi ile ilgili bazı özellikleri genelleştirilmiş türetmelere taşımıştır. Bu çalışmayı Hvala (1998), Lee (1999) ve Lee ve Shiue (2001) gibi matematikçilerin çalışmaları takip etmiştir.

Edward Posner 1957 yılında bir asal halka ve d, R halkasının sıfırdan farklı bir türetmesi olmak üzere x elemanıdır R için [d(x),x] elemanıdır Z ise R halkasının değişmeli olduğunu ispatlamıştır. Daha sonra Lee R.H. ve arkadaşları 1981 yılında yayınladıkları makalesiyle aynı teoremi farklı ispatını vermiştir.

Herstein I.N. 1970 yılında R karakteristiği 2 den farklı bir asal halka ve [d(R),d(R)] alt kümesidir Z koşulunu sağlıyorsa R halkasının değişmeli olduğunu ispatlamıştır. Ayrıca Herstein I.N. makalesinde d(R) alt kümesidir Z koşulunu sağlıyorsa R halkasının değişmeli olduğunu ispat etmiştir (Herstein I.N. 1970).

Tezi Word olarak aşağıdaki linkten indirebilirsiniz.

http://hotfile.com/dl/132136460/2d671a7/halkalarda_trev.doc.html

Yorumlarınız için teşekkür ederim...

Topoloji üzerine

Bilindiği gibi bir matematiksel sistem verilen boştan farklı bir küme ve üzerinde tanımlanan bir yapıdan oluşur. Küme üzerine kurulan bu yapıya göre adlandırma yapılır. Örneğin, küme üzerinde ikili bir işlem tanımlarsanız bu yapıya cebirsel yapı denir. Bu bölümde "topoloji nedir?" sorusunu cevaplamaya çalışalım.

Mutlak değer metriği ile (R,| |) uzayında bir dizinin yakınsaklığını ve bir fonksiyonun sürekliliğini biliyoruz. Şimdi boş olmayan herhangi X ve Y kümelerini ele alalım.

i) X kümesi üzerinde nasıl bir yapı koyalım ki bu küme içinde verilen bir dizi yakınsak olsun.

ii) f, X kümesinden Y kümesine bir fonksiyon olmak üzere X ve Y kümeleri üzerine nasıl bir matematik yapılar koyalım ki f fonksiyonu sürekli olsun.

İşte, küme üzerine konulan bu matematiksel yapı topolojik yapı olarak adlandırılır.

Topoloji; uzaysal yapı kavramları için verilen özel tanımlarla ilgilenen, değişik tanımları karşılaştıran ve küme üzerinde tanımlanan yapı ile ilgili özellikler arasındaki bağlantıları araştıran bilim dalıdır. Klein, 1872 yılında topolojiyi "Uzaya ait bütün özellikler ile homeomorfizm altında değişmeyen özellikleri araştıran matematiğin bir bilim dalıdır." şeklinde tanımlamıştır. Cantor, 1879-1884 yılları arasında Öklid uzayı ve bu uzayın alt kümelerinde, topolojiye ait bazı temel kavramlar vermiştir. Daha sonra C. Jordan, H Poincarre, E. Borel, R. Baire ve H. Lebesgue gibi ünlü matematikçiler Öklid uzayında topolojide yeni kavramlar elde etmiştir. Sonra V. Voltera ve D. Hilbert fonksiyonların kümesinde, E. Borel üç boyutlu uzayda düzlem ve doğruların kümesinde, topolojik kavramları vermişlerdir. Frechet 1906 yılında yakınsak dizilerle, Riesz de 1908 yılında yığılma noktaları ile topolojik uzayları tanımlamıştır. Hausdorff, 1914 yılında topolojik uzayı, soyut kümelerde komşuluklar sistemiyle vermiştir. Kuratowski, 1922 yılında kapanış aksiyomları yardımıyla topolojik yapı tanımlamıştır.

Görüleceği gibi topolojide ilk yapılacak şey genel uzay tanımını vermek, daha sonra da değişik yöntemlerle verilen topolojik yapılar arasındaki bağlantıları araştırmaktır...

(Sayın Şaziye Yüksel hocanın Genel Topoloji adlı kitabından alıntıdır.)

Devam edecek...