Topoloji üzerine

Bilindiği gibi bir matematiksel sistem verilen boştan farklı bir küme ve üzerinde tanımlanan bir yapıdan oluşur. Küme üzerine kurulan bu yapıya göre adlandırma yapılır. Örneğin, küme üzerinde ikili bir işlem tanımlarsanız bu yapıya cebirsel yapı denir. Bu bölümde "topoloji nedir?" sorusunu cevaplamaya çalışalım.

Mutlak değer metriği ile (R,| |) uzayında bir dizinin yakınsaklığını ve bir fonksiyonun sürekliliğini biliyoruz. Şimdi boş olmayan herhangi X ve Y kümelerini ele alalım.

i) X kümesi üzerinde nasıl bir yapı koyalım ki bu küme içinde verilen bir dizi yakınsak olsun.

ii) f, X kümesinden Y kümesine bir fonksiyon olmak üzere X ve Y kümeleri üzerine nasıl bir matematik yapılar koyalım ki f fonksiyonu sürekli olsun.

İşte, küme üzerine konulan bu matematiksel yapı topolojik yapı olarak adlandırılır.

Topoloji; uzaysal yapı kavramları için verilen özel tanımlarla ilgilenen, değişik tanımları karşılaştıran ve küme üzerinde tanımlanan yapı ile ilgili özellikler arasındaki bağlantıları araştıran bilim dalıdır. Klein, 1872 yılında topolojiyi "Uzaya ait bütün özellikler ile homeomorfizm altında değişmeyen özellikleri araştıran matematiğin bir bilim dalıdır." şeklinde tanımlamıştır. Cantor, 1879-1884 yılları arasında Öklid uzayı ve bu uzayın alt kümelerinde, topolojiye ait bazı temel kavramlar vermiştir. Daha sonra C. Jordan, H Poincarre, E. Borel, R. Baire ve H. Lebesgue gibi ünlü matematikçiler Öklid uzayında topolojide yeni kavramlar elde etmiştir. Sonra V. Voltera ve D. Hilbert fonksiyonların kümesinde, E. Borel üç boyutlu uzayda düzlem ve doğruların kümesinde, topolojik kavramları vermişlerdir. Frechet 1906 yılında yakınsak dizilerle, Riesz de 1908 yılında yığılma noktaları ile topolojik uzayları tanımlamıştır. Hausdorff, 1914 yılında topolojik uzayı, soyut kümelerde komşuluklar sistemiyle vermiştir. Kuratowski, 1922 yılında kapanış aksiyomları yardımıyla topolojik yapı tanımlamıştır.

Görüleceği gibi topolojide ilk yapılacak şey genel uzay tanımını vermek, daha sonra da değişik yöntemlerle verilen topolojik yapılar arasındaki bağlantıları araştırmaktır...

(Sayın Şaziye Yüksel hocanın Genel Topoloji adlı kitabından alıntıdır.)

Devam edecek...